連成振動の解②LaTeXコード
連成振動の解②
コード
連成振動の解②-3重ばねの振動
微分方程式いろいろコンテンツカテゴリの解析力学で使われた連成振動の解②3重ばねの振動にて使われたコードになります。
そのままTeX環境に落し込んでコンバーティングすればすぐに画像を出力でき、またDVIファイルにてエラーのチェックも行っています。
なお近年コンテンツ盗用が目立ちます。参考にしたのであれば紹介リンクを貼るなどの社会人としての最低限のマナーは必ず守るようお願いします。
3重バネのラグランジアン
コード
\begin{eqnarray*}
L\;=\;\frac{1}{2}\:m\:\left(\:\dot{q}^{2}_{1}\;+\;\dot{q}^{2}_{2}\:\right)\;-\;\frac{1}{2}\:c\:q^{2}_{1}\;-\;\frac{1}{2}\:k\:\left(\:q_{2}\:-\:q_{1}\:\right)^{2}\;-\;\frac{1}{2}\:c\:q^{2}_{2}
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_lagrange_equation_img1-1024x76.png)
コード
\begin{eqnarray}
&\begin{array}{rcc}\vspace{5pt}
\frac{d}{dt}\left(\:m\:\dot{q}_{1}\:\right)\:&=&\:-c\:q_{1}\;+\;k\:\left(\:q_{2}\:-\:q_{1}\:\right)\\
m\:\ddot{q}_{1}\:&=&\:-c\:q_{1}\;+\;k\:\left(\:q_{2}\:-\:q_{1}\:\right)
\end{array}&\hspace{-80pt}\\
&\hspace{-3pt}\begin{array}{rcc}\vspace{5pt}
\frac{d}{dt}\:\left(\:m\dot{q}_{2}\:\right)\:&=&\:-c\:q_{2}\:-\:k\left(\:q_{2}\:-\:q_{1}\:\right)\\
m\:\ddot{q}_{2}\:&=&\:-c\:q_{2}\:-\:k\left(\:q_{2}\:-\:q_{1}\:\right)
\end{array}&\hspace{-80pt}
\end{eqnarray}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_euler_lagrange_equation_img2.png)
コード
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{ccc}\vspace{5pt}
q_1\:&\equiv&\:A_1\:\cos\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)\\
q_2\:&\equiv&\:A_2\:\cos\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_euler_lagrange_equation_solution_q1q2_img1.png)
コード
\[
\begin{array}{cclcccl}\vspace{5pt}
\dot{q}_{1}&=&-A_{1}\:\omega\:\sin\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)&&\dot{q}_{2}&=&-A_{2}\:\omega\:\sin\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)\\\vspace{5pt}
\ddot{q}_{1}&=&-A_{1}\:\omega^{2}\:\cos\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)&&\ddot{q}_{2}&=&-A_{2}\:\omega^{2}\cos\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)\\\ddot{q}_{1}&=&-\omega^{2}\:q_{1}&&\ddot{q}_{2}&=&-\omega^{2}\:q_{2}
\end{array}
\]
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_euler_lagrange_equation_solution_q1q2_img2-1024x152.png)
コード
\begin{eqnarray*}
m\:\ddot{q}_{1}&=&-c\:q_{1}\;+\;k\left(\:q_{2}\;-\;q_{1}\:\right)\nonumber\\
m\:\left(\:-\omega^{2}q_{1}\:\right)&=&-c\:\left\{\:-A_{1}\:\cos\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)\:\right\}\;+\;k\left\{\:A_{2}\cos\left(\omega\:t\;+\;\alpha\right)\;-\;A_{1}\cos\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)\:\right\}\nonumber\\
-m\:\omega^{2}\:A_{1}\cos\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)&=&cA_{1}\:\cos\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)\;+\;kA_{2}\:\cos\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)\;-\;kA_{1}\:\cos\left(\:\omega\:t\;+\;\alpha\:\right)\nonumber\\
-m\omega^2\:A_{1}&=&cA_{1}\:\;+\;k\:A_{2}\;-\;k\:A_{1}\nonumber\\
0&=&\left(\:m\omega^2\;+\;c\;-\;k\:\right)\:A_{1}\;+\;k\:A_{2}
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_euler_lagrange_equation_calculation_process_img1.png)
コード
\begin{eqnarray*}
m\:\ddot{q}_{2}&=&-cq_{2}\;-\;k\left(\:q_{2}\;-\;q_{1}\:\right)\\
0&=&\left(\:m\omega^{2}\;-\;c\;-\;k\:\right)\:A_{2}\;+\;k\:A_{1}
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_euler_lagrange_equation_solution_q2_img1.png)
コード
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{ccc}\vspace{5pt}
0&=&\left(\:m\omega^2\;-\;c\;-\;k\:\right)A_{1}\;+\;kA_{2}\\
0&=&kA_{1}\;+\;\left(\:m\omega^2\;-\;c\;-\;k\:\right)A_{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_euler_lagrange_equation_calculation_result_relationship_img1.png)
コード
\begin{eqnarray*}
\left|
\begin{array}{ccc}
\quad m\omega^2\;-\;c\;-\;k\quad&k\\
&&\\
k&\quad m\omega^2\;-\;c\;-\;k\\
\end{array}
\right|\;&\equiv&\;0
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_huckle_method_large_2024img1.png)
コード
\begin{eqnarray*}
\left(\:m\:\omega^2\;-\;c\;-\;k\:\right)^2\;-\;k^2\;=\;0
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_huckle_method_large_2024img2.png)
コード
\begin{eqnarray*}
0\;&=&\;m^2\omega^4\;-\;2\left(\:c\;+\;k\:\right)\:m\:\omega^2\;+\:c^2\;+\;2ck\;+\;k^2\;-\;k^2\nonumber\\
0\;&=&\;m^2\omega^4\;-\;2\left(\:c\;+\;k\:\right)\:m\:\omega^2\;+\:c^2\;+\;2ck\label{rensei_4}
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_huckle_method_large_2024img3-1024x100.png)
コード
\begin{eqnarray*}
X^2\;-\;2\left(\:c\;+\;k\:\right)\:X\;+\;c\left(\:c\;+\;2k\:\right)\;=\;0
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_huckle_method_large_2024img4.png)
コード
\begin{picture}(120,80)
\put(500,180){$\Longrightarrow\qquad\left(X\;-\;c\right)\left(X\;-\;c\:-\:2k\right)\;=\;0$}
\put(270,166){\line(1,1){30}}
\put(270,196){\line(1,-1){30}}
\put(238,145){\line(1,0){255}}
\put(240,160){$1$}
\put(240,197){$1$}
\put(240,130){$1$}
\put(326,160){$-\:\left(\:c\;+\;2k\:\right)$}%2列目真ん中
\put(350,197){$-\:c$}%2列目上段
\put(330,130){$c\:\left(\:c\;+\;2k\:\right)$}%下段2列目
\put(435,160){$-\:c\:-\:2k$}%3列目真ん中
\put(448,197){$-\:c$}%3列目最上段
\put(400,197){$=$}
\put(400,160){$=$}
\put(430,130){$-2\:\left(\:c\;+\;k\:\right)$}%3列目最下段
\end{picture}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_huckle_method_large_2024img5.png)
コード
\begin{eqnarray*}
\left(m\omega^2\;-\;c\right)\left(m\omega^2\;-\;c\;-\;2k\right)\;=\;0
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_huckle_method_large_2024img6.png)
コード
\begin{eqnarray*}
m\omega^2\;&=&\;c\\
m\omega^2\;&=&\;c\;+\;2k
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_huckle_method_large_2024img7.png)
コード
\[
\begin{array}{cclcccl}
q_{1}&=&A^{\prime}\:\cos\left(\:\omega^{\prime}\:t\;+\;\alpha^{\prime}\:\right)\:&\quad q_{2}&=&A^{\prime}\:\cos\left(\:\omega^{\prime}\:t\;+\;\alpha^{\prime}\:\right)\\
q_{1}&=&A^{\prime\prime}\:\cos\left(\:\omega^{\prime\prime}\:t\;+\;\alpha^{\prime\prime}\:\right)\:&\quad q_{2}&=&A^{\prime\prime}\:\cos\left(\:\omega^{\prime\prime}\:t\;+\;\alpha^{\prime\prime}\:\right)\\
\end{array}
\]
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_huckle_method_large_2024img9-1024x81.png)
コード
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{ccl}
q_{1}&=&A^{\prime}\:\cos\left(\:\omega^{\prime}\:t\;+\;\alpha^{\prime}\:\right)\;+\;A^{\prime\prime}\:\cos\left(\:\omega^{\prime\prime}\:t\;+\;\alpha^{\prime\prime}\:\right)\\
&&\\
q_{2}&=&A^{\prime}\:\cos\left(\:\omega^{\prime}\:t\;+\;\alpha^{\prime}\:\right)\;-\;A^{\prime\prime}\:\cos\left(\:\omega^{\prime\prime}\:t\;+\;\alpha^{\prime\prime}\:\right)\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
出力画像
![](https://akjp.org/wp-content/uploads/2024/06/coupled_oscillations2_huckle_method_large_2024img10.png)