エルミート直交性LaTeXコード
エルミート多項式の直交性
コード置き場
微分方程式いろいろコンテンツのエルミート多項式の直交性にて使われた
コードになります。
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エルミート母関数定義式
コード
\begin{eqnarray*}
e^{-t^2\:+\:2\xi t}\:=\:\sum^{\infty}_{n\:=\:0}\frac{1}{n!}H_n\left(\:\xi\:\right)t^n\quad\cdots\quad\left(\:1\:\right)
\end{eqnarray*}
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コード
\begin{eqnarray*}
e^{-s^2\:+\:2\xi s}\:=\:\sum^{\infty}_{m\:=\:0}\frac{1}{m!}H_m\left(\:\xi\:\right)s^m\quad\cdots\quad\left(\:2\:\right)
\end{eqnarray*}
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コード
\begin{eqnarray*}
e^{-t^2\:+\:2\xi t\:-\:\xi^2}\:=\:\sum^{\infty}_{n\:=\:0}\frac{1}{n!}H_n\left(\:\xi\:\right)t^n e^{-\xi^2}
\end{eqnarray*}
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エルミート母関数定義式変形過程
コード
\begin{eqnarray*}
e^{-t^2\:+\:2\xi t\:-\:\xi^2}\cdot e^{-\:s^2\:+\:2\xi s}&=&\sum^{\infty}_{n\:=\:0}\frac{H_n\left(\:\xi\:\right)}{n!}t^n e^{-\xi^2}\cdot \sum^{\infty}_{m\:=\:0}\frac{H_m\left(\:\xi\:\right)}{m!}s^m\\
e^{-t^2\:+\:2\xi t\:-\:\xi^2\:-\:s^2\:+\:2\xi s}&=&\sum^{\infty}_{n\:=\:0}\sum^{\infty}_{m\:=\:0}H_n\left(\:\xi\:\right)H_m\left(\:\xi\:\right)\cdot e^{-\xi^2}\cdot\frac{t^n s^m}{n!\;m!}
\end{eqnarray*}
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コード
\begin{eqnarray*}
e^{-t^2\:+\:2\xi t\:-\:\xi^2\:-\:s^2\:+\:2\xi s\:+\:2ts\:-\:2ts}&=&e^{-\left(\:t^2\:-\:2\xi t\:-\:2\xi s\:+\:2ts\:+\:s^2\:+\:\xi^2\right)\:+\:2ts}\\
&=&e^{-\left(\:\xi\:-\:t\:-\:s\:\right)^2\:+\:2ts}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
e^{-\left(\:\xi\:-\:t\:-\:s\:\right)^2\:+\:2ts}&=&\sum^{\infty}_{n\:=\:0}\sum^{\infty}_{m\:=\:0}H_n\left(\:\xi\:\right)H_m\left(\:\xi\:\right)\cdot e^{-\xi^2}\cdot\frac{t^n s^m}{n!\;m!}
\end{eqnarray*}
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コード
\begin{eqnarray*}
\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\left(\:\xi\:-\:t\:-\:s\:\right)^2\:+\:2ts}d\xi&=&\sum^{\infty}_{n\:=\:0}\sum^{\infty}_{m\:=\:0}\int^{\infty}_{-\infty}H_n\left(\:\xi\:\right)H_m\left(\:\xi\:\right) e^{-\xi^2}d\xi\cdot\frac{t^n s^m}{n!\;m!}
\end{eqnarray*}
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