微分方程式いろいろコード

サテライトサイト微分方程式いろいろコンテンツトップページに使われたコードになります。コンパイル時のエラー等の修正は確認済みなのでこのまま自端末の文書にコピペして貼り付けてDVIファイル出力すれば同様の数式画像が得られます。

基本的に管理人の備忘録用のログとして作成していますが関連するキーワードで該当するものがあれば学習教材を作成するなどした場合に利用できると思います。

ただし近年コンテンツ盗用がかなり目立ちます。参考にしたのであれば紹介リンクを貼るなどの対応は必ずお願いいたします。

微分方程式例題１

コード

\[
ay^2\:=\:\left(\:x\:+\:b\:\right)
\]
\begin{eqnarray*}
a\frac{d}{dx}\left(y^2\right)&=&3\frac{d}{dx}\left(x+b\right)\\
a\frac{dy}{dx}\frac{dy^2}{dy}&=&3\frac{d}{dx}x\;+\;3\frac{d}{dx}b\\
2ay\frac{dy}{dx}&=&3
\end{eqnarray*}

出力画像

コード

\begin{eqnarray*}
2a\frac{d}{dx}\left(\:y\frac{dy}{dx}\:\right)=\frac{d}{dx}3\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
2a\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dy}{dx}\;+\;2ay\frac{d^2y}{dx^2}\;=\;0\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
2a\left(\:\frac{dy}{dx}\:\right)^2\;+\;2ay\frac{d^2y}{dx^2}=\;0\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(\:\frac{dy}{dx}\:\right)^2\;+\;y\frac{d^2y}{dx^2}\;=\;0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{d^2y}{dx^2}\;=\;-\frac{1}{y}\left(\:\frac{dy}{dx}\:\right)^2
\end{eqnarray*}

出力画像

微分方程式例題2(円に関する考察)

コード

\begin{eqnarray*}
x^2\:+\:y^2\:=\:c\quad\left(\:c\:>\:0\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}x^2\;+\;\frac{d}{dy}y^2\;=\;\frac{d}{dx}c
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{dx^2}{dx}+\frac{dy^2}{dy}\frac{dy}{dx}=0\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
2x+2y\frac{dy}{dx}=0\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}
\end{eqnarray*}

出力画像

微分方程式例題3(力学への応用)

コード

\begin{eqnarray*}
dE=0\qquad\left(\frac{dE}{dt}=0\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
dE&\;=\;&\frac{\partial E}{\partial \dot{y}}d\dot{y}\:+\:\frac{\partial E}{\partial y}dy
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial E}{\partial \dot{y}}=m\dot{y}\quad&&\frac{\partial E}{\partial y}=mg
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
dE&=&m\dot{y}d\dot{y}\:+\:mgdy\\
&=&m\frac{dy}{dt}\left(d\frac{dy}{dt}\right)+mg\:dy
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{dE}{dt}&=&m\frac{dy}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}+mg\frac{dy}{dt}\\
&=&\left(m\frac{d^2y}{dt^2}+mg\right)\frac{dy}{dt}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{dE}{dt}&=&m\left(\frac{d^2y}{dt^2}+g\right)\frac{dy}{dt}\\
&=&0
\end{eqnarray*}

出力画像