テイラー展開～関数の近似

多項式の展開

例えば次のような式、

この式を、

といった形にすることを考えてみます。 まず、式を次々に微分していくと、

ここでに１を代入していくと、

という結果が出てきますが、ここでの式をとおくと、まず、

次に、を求めるためにの式をxで微分し、１を代入すると、

であることがわかります。

なお、の式の微分は合成関数微分を使っています。

例えばの第３項は次のように微分を行っています。

より、

として計算しています。

さらに微分して同じように１を代入すれば、

同様に、

ここで注目すべきことは上記の結果を勘案すると次のような関係があるということです。

以上の結果を用いれば、の式は次のような形で表すことができるようになります。

ここまではについての多項式展開をしてきましたがそれ以外のについてもまた同様になります。

上記の式は３次の多項式ならば成立する式であり、

を含む開区間でが微分可能なとき次のようなことが言えます。

以上をテイラー展開と呼び式のでの値をまわりで展開するといったりします。

ちなみに分母にあるというのは、kのカイジョウとよび、以下のように定義されているものです。

例えばだった場合、

となります。ちなみにのカイジョウはになります。

上記のやり方に手をくわえたもので点回りにおけるテイラー級数があります。これは一般的にマクローリン展開などと呼ばれています。

例題

次に示す関数をまわりでテイラー展開（マクローリン展開）してみましょう。

答え

（１）

はでいくら微分していっても同じ結果が出てくるので０点まわりのテイラー展開、

にあてはめれば次のようになります。

（２）

合成関数の微分を施します。

などとやって３階微分までやっていくと、

のようになります。これを代入していけば、

設問の例

問題の中にはテイラー展開せよ、と明確に表現することなく次のような感じで出題されることもあります。

といった式があった場合、この関数を第3項までのべき級数展開して表示せよ、などという設問があった場合はたいていは次のようにマクローリン展開して問題を解いていきます。

よって解答としては以下のようになります。

補遺

すべての級数がテイラー展開でうまくいくとは限りません。

例えば次のような式を級数展開する場合はテイラー展開をするとごちゃごちゃした式が出てくるので別の方法を使います。

まず、

のような級数を考えて、それにさらに定数項のを両辺に加えたものを用いて次のような式を導きます。

ここでをとして仮定すれば、

に当てはめてとおいて上式に当てはめていけば、

ここでこの式の両辺を０から１の定積分を実行します。まず右辺は、

一方、左辺の積分に関して、テイラー展開の微分は、

であったので０から１までの定積分を行うと、

ここで左図アークタンジェントのグラフよりのところで交わる軸の値の0.785…と言う数字は3.14…を４で割った数、すなわちになります。

となるので次のような関係式が導かれます。

この式は結構有名な数式らしく、数学の読み物的なテキストなんかではたまに紹介されることもあるようです。 一般的にはグレゴリーの公式、またはライプニッツの公式などといわれているらしいです。